“摸球游戏”与概率论


大约十年前,在北京西直门立交桥附近,曾有一个摆摊摸球的人。当时围观的人们觉得很新鲜,曾有很多人参与摸球。现在看来,这不过是一个小型的赌博游戏罢了。

    这个游戏的规则很简单:他先摆出了12个台球一般大小的小球,其中有6个红色球和6个白色球。当着观众的面,他把所有12个色球装进一个普通的布袋中,然后怂恿大家来摸。怎么个摸法呢?就是从这个装有12个球的布袋中,随便摸出6个球来, 看看其中有几个是红球,有几个是白球。当然,摸球者只能把手伸进袋口中把球一个一个地“掏出来”,而不能打开袋口看着摸。

    这位摆摊的人,还设立了各种情况下的奖励方案,大致是这样的: 如果谁有幸摸出了“6个红球”或者“6个白球”,那么摸者可以得到3元钱的奖励;如果摸出的是“5红1白”或者“5白1红”,那么摸者可以得到2元钱的奖励; 如果摸出的是“4红2白”或者“4白2红”,那么摸者可以得到1元钱的奖励;但如果摸出的是“3红3白”,对不起,摸球者必须付给摆摊者3元。

    当时的围观者甚众。乍一看来,在可能出现的所有7种情况中,竟然有6种可以得到奖励,只有唯一1种情况要“挨罚”,很多人便欣然参与。 奇怪的是,“3红3白”的情况特别的多,也许摸个一、两次,能撞个大运,摸个“4红2白”或者“4白2红”,赢下寥寥几元钱,但如果连摸五次以上,几乎是必“赔”的。一天下来,最为得意的当然是那个摆摊者。

    有些赔钱的人肯定会有这种疑问:“为什么摸出来的6个球,总是3红3白呢? 是不是这个摆摊的人有点特异功能,施了魔法呢?”

    当然不是。这是数学中的“概率”所左右的结果。

大家都知道,根据排列组合的知识,从12个球中摸出6个球,总的方法数为:
       
      
    其中“6红”或者“6白”的情况,都仅有唯一的1种,按照概率论计算,就是1/924的出现概率,真是太低了,在概率论中可以算作“实际上不可能发生”的小概率事件。

    容易计算出“5红1白”或者“5白1红”的情况各是:
       
      
    两种情况加起来就是72种,也就是出现总概率为72/924=6/77,还不到1/11,也够低的。所以这两种情况也难得出现。

    出现“4红2白”或者“4白2红”的情况各是:
       
      
    两种情况加起来就是450种,也就是出现总概率为450/924=75/154,将近1/2, 也就是有一半的可能性。不过这两种情况每次都只能赢回1元钱。

  最后我们来看看“3红3白”的情况:
       
      
    所以,摸到“3红3白”的概率,就是400/924=100/231,虽然比上面那两种情况的可能性稍低,但也是将近一半的可能性。尤其一旦摸到“3红3白”,一次就会损失掉3元钱。

    根据上面的分析,我们可以得到如下结论:最有可能出现的三种情况是“3红3白” 、“4红2白”和“4白2红”,而且出现“3红3白”的概率接近1/2,出现“4红2白”和“4白2红”的概率都接近1/4。 也就是说,一般来讲,如果志愿者摸了四回,往往其中的两回都是“3红3白”(共赔6元),另外各有一次是“4红2白”和“4白2红”(共赚2元)。 算下总帐,4次摸球的结果,一般要赔进4元钱。 看来,参与摸球的人多半是会赔本的,而且摸的次数越多,赔出的钱也就越多。

    看来,这位摆摊者巧妙地利用了概率论,成为不变的赢家。以后再遇到这种人,大家可千万不要上当啊!