趣闻数学:增资方案任你选


 

同学们,请你凭借自己的智慧决定这样一个问题。

假如你是一个打工者,干了一段时间后,在年初的时候,老板宣布给你增加工资。老板提出了两种增加工资的方案。第一种,到年底增加100元,以后,在原有的基础上每年增加100元;第二种,到年中增加30元,以后,在原有的基础上每半年增加30元。

同学们,你选择哪一种增资方案呢?

你会说,这还不清楚,选第一种!因为每年增加100元,第十年就增加1000元;而后一种呢,第一年末多拿60元,第十年末多拿600元。两者的差别不是很明显的吗?其实,你关心的不是某年末多拿多少钱,而这些年你一共多拿了多少钱。显然,这是两个不同的概念。譬如,在后法中,第一年末多拿了60元,而年中还多拿了30元,所以,第一年一共多拿了90元,比第一种方法少拿的不是很多。这样,你对原来的选择还有信心吗?

为了说明情况,下面用具体数据比较最初几年的情况。

第一年的情况已经很清楚了,后法比前法少拿10元。如果你干一年就走人,那你选择第一种方案。

前两年,前法多拿的钱数为100元+200元=300元。后发多拿的钱数为30元+60元+90元+120元=300元。看来,你如果打谱只做两年,则两种方案对你是一样的,你不用刻意选择那种方法。

前三年,前法多拿的钱数为100元+200元+300元=600元。后法多拿的钱数为30元+60元+90元+120元+150元+180元=630元。故三年累计,后法多拿了30元钱。容易理解,如果你想做十年八载的,后一种方法与前一种方法相比,多得的工资就更多了。为了对更多年份的情况有一个定量的概念,请看下面的表格。

 

第一年

第二年

第三年

第四年

第五年

第六年

1法年度多得(元)

100

200

300

400

500

600

1法累计多得(元)

100

300

600

1000

1500

2100

2法年度多得(元)

30、60

90、120

150、180

210、240

270、300

330、360

2法年度多得(元)

90

300

630

1080

1650

2340

你看,如果做6年,你选第一种方法的话,得少拿230元钱呢?

其实,上面的过程完全可以用公式来表示。假设第n年末,则前法多拿到的钱数为100n元;而后法多拿到的钱数为60n元。正是这一点,迷惑了部分同学的双眼。注意,对于60n元,是年底一次性多拿的钱数,并不包括年中时多拿的钱。

为了计算前n年一共多得多少钱,可以再研究表格。由表格看出,对第一种方法,是一个以100为第一项,公差是100的等差数列。故前n年累计多得的钱数为

(元) 。(n=1、2、 3 ……)。

对第二种方法,是一个以30为第一项,公差是30的等差数列。故前n年累计多得的钱数为

(元) 。(n=1、2、 3 ……)。

上面的式子与梯形面积的公式,形式上是一样的。由公式容易理解后法比前法多拿的多的原因了,因为后法中,虽然,两个"底边"都不大,因而,两边之和也不大,但是,由于"高"是前法的2倍,所以,累计总数就不一定小了。当"高"大到一定程度,后法就可以与前法相等,甚至比前法大了。

有兴趣的同学,可以进行下面的讨论。

如果你想让两种方案第一年多拿一样多的钱,则后法多拿的钱数就得大于30元,你能得出具体数值吗?一位同学的得数是33.33元,你说对吗?

如果你是老板,你想让打工者在前十年多拿一样多的钱,后法每半年增加多少钱?一位同学的得数是23.8元,你说对吗?

总之,遇到问题时,同学们千万不要被它的表面现象所迷惑,而是要透过现象看清事物的本质,这样,事物的本来面貌才会呈现在你的面前。